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\chapter{Présentation générale des concepts} % Main chapter title

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\lhead{Chapitre 1. \emph{Présentation générale des concepts}} % Change X to a consecutive number; this is for the header on each page - perhaps a shortened title

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%	SECTION 1
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\section{Les catastrophes naturelles en Jamaïque}
Une catastrophe naturelle est un événement d’origine naturelle, subi et brutal, qui a en général des conséquences désastreuses sur le plan environnemental, humain et économique. Selon le rapport sigma 2014 de Swiss Re \footnote{Source : \href{http://media.swissre.com/documents/sigma1_2014_fr.pdf}{\texttt{http://media.swissre.com/documents/sigma1\_2014\_fr.pdf} } }, les catastrophes naturelles en 2013 ont engendré 140 milliards de dollars de pertes économiques, ont coûté 37 milliards de dollars aux assureurs et ont fait plus de 26 000 morts. Les événements extrêmes ont d’autant plus de conséquences graves que les biens et les personnes sont concentrés sur des zones à risque. Deux phénomènes conjugués entrainent une augmentation des pertes économiques et humaines :
\begin{itemize}
\item Le changement climatique lié à l’activité humaine augmentant la fréquence et l’intensité des événements extrêmes
\item  L’urbanisation croissante et la concentration des populations et des richesses dans des zones exposées à ces événements extrêmes.\\
\end{itemize}

\noindent Les Caraïbes sont l’une des régions les plus touchées par les catastrophes naturelles dans le monde. Depuis le début des années 70, les ouragans y ont coûté au moins 9,5 milliards de dollars américains. En moyenne, un ouragan ou un tremblement de terre affecte un à trois pays des Caraïbes chaque année. En 2004, la région a connu une série d’ouragans désastreux. L’ouragan Ivan a été le plus dévastateur avec des pertes économiques s’élevant à 200\% du PIB sur l’île de la Grenade.

\noindent A cause de sa localisation et de sa géographie, l’île de la Jamaïque est exposée à plusieurs risques naturels. Les principales menaces sont des glissements de terrains, des ouragans, des inondations, des sécheresses et des tremblements de terre. Ces risques naturels combinés à une forte vulnérabilité au sol peuvent avoir des conséquences humaines et économiques importantes.

\noindent La Jamaïque a connu ces trente dernières années une augmentation de la fréquence des événements naturels qui la touche, dont principalement des inondations causées par des tempêtes tropicales et des ouragans. Une dizaine d’événements violents ont eu lieu entre 1998 et 2012 notamment des ouragans, des tempêtes tropicales et des pluies torrentielles. A titre d’exemple, l’ouragan Ivan en septembre 2004 a engendré 37 milliards de dollars Jamaïcain de pertes économiques, soit 8\% du PIB du pays (cf. tableau \ref{tab:Catastrophes en Jamaïque}). \\
%\begin{figure}[htbp]
%  \centering
%    \includegraphics[scale=1,keepaspectratio=true]{Figures/Catastrophes_Jam.pdf}
%    \rule{35em}{0.5pt}
%  \caption[Catastrophes en Jamaïque]{Sélection de catastrophes naturelles en Jamaïque avec leur impact économique}
%  \label{fig:Catastrophes en Jamaïque}
%\end{figure}
\begin{table}[htbp]
\centering
\begin{tabular}{l|c|c|c|c}

\textbf{Catastrophe naturelle}&\textbf{Année}&\textbf{Catégorie \footnotemark}&
\begin{tabular}{c}
\textbf{Coût} \\(M JMD \footnotemark)
\end{tabular}&\begin{tabular}{c}
\textbf{Impact} \\ (\%PIB)
\end{tabular} \\
\hline \hline 
Ouragan Michelle & 2001 & 4 & 2.52 & 0.8 \\
Pluies torrentiells de Mai/Juin & 2002 & - & 2.47 & 0.02 \\
Ouragan Charley & 2004 & 4 & 0.44 & 0.8 \\
Ouragan Ivan & 2004 & 3 & 36.9 & 8.0 \\
Ouragan Dennis \& Emily & 2005 & 4 & 5.98 & 1.2 \\
Ouragan Wilma & 2005 & 5 &2.6 & 0.7 \\
Ouragan Dean & 2007 & 4 & 23.8 & 3.4 \\
Tempête tropicale Gustav & 2008 & - & 15.5 & 2.0 \\
Tempête tropicale & 2010 & - & 20.6 & 1.9 \\
\hline
\hline
\end{tabular}
\caption[Sélection de catastrophes naturelles en Jamaïque avec leur impact économique]{Sélection de catastrophes naturelles en Jamaïque avec leur impact économique}
\label{tab:Catastrophes en Jamaïque}
\end{table}

\footnotetext[2]{La catégorie des ouragans (de 1 à 5) est établie selon l'échelle de Saffir-Simpson à partir de la vitesse des vents. A titre d'exemple, la catégorie 4 correspond à des vents soutenus entre 210 et 240 km/h.}
\footnotetext{Milliards de dollars Jamaïcain (JMD). 1,00 USD $\approx$ 100 JMD en 2014.}
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\section{Le Caribbean Catastrophe Risk Insurance Facility}
Les petits Etats insulaires ont des difficultés à absorber l’impact financier des désastres décrits plus haut. En effet, leur capacité budgétaire limitée les empêche d’établir des réserves financières suffisantes et l’inter-financement régional est impossible en raison de leur petite taille et de leur diversité économique. Après une catastrophe, le niveau élevé de dette limite l’accès au crédit. De même, l’accès à l’assurance catastrophe est difficile en raison des coûts de transaction élevés résultant d’une faible activité de ce marché aux Caraïbes. \\ \\
Le Caribbean Catastrophe Risk Insurance Facility (CCRIF) est le premier pool d’assurance multi-pays crée dans le monde à adosser un mécanisme d’assurance paramétrique soutenu à la fois par les marchés traditionnels et de capitaux. Il s’agit d’un fonds régional pour les gouvernements des Caraïbes visant à limiter l’impact financier des ouragans et des tremblements de terres dévastateurs en fournissant rapidement des liquidités lorsqu’une police est déclenchée. Le CCRIF a été développé grâce à un financement du gouvernement japonais et a été capitalisé à l’aide des contributions à un fond de coopération technique par la Banque Mondiale, le gouvernement du Canada, l’Union Européenne, les gouvernements du Royaume-Uni et de France, la Banque de développement des Caraïbes et les gouvernements d’Irlande et des Bermudes. \\ \\
Seize gouvernements sont actuellement membres de la structure à but non lucratif qu’est le CCRIF : Anguilla, Antigua et Barbuda, les Bahamas, Barbade, Belize, Bermudes, les îles Caïmans, la Dominique, Grenade, Haïti, la Jamaïque, Saint-Kittset Nevis, Sainte-Lucie, Saint-Vincent, l’île de la Trinité et les îles Turques et Caïques. Ces pays mutualisent leur risque via la structure du CCRIF qui constitue un intermédiaire entre ces pays et les marchés internationaux de la réassurance. En effet, les gouvernements souscripteurs mutualisent leur risque dans un fonds commun pour accéder à une aide budgétaire dont nous étudierons le mécanisme dans la troisième partie du mémoire. \\
\begin{figure}[htbp]
  \centering	
    \includegraphics[scale=0.9,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/CCRIF.pdf}
    \rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Structure du CCRIF]{Structure du CCRIF}
  \label{fig:Structure CCRIF}
\end{figure}
\\ Le CCRIF permet d’atténuer les problèmes de flux de trésorerie des petites économies en développement après avoir subi des catastrophes naturelles. A court terme, il est indispensable de trouver la liquidité nécessaire au maintien des services gouvernementaux (ex : assurer la sécurité dans le pays, envoyer des secours sur les zones touchées, $\dots$) jusqu’à ce que des ressources supplémentaires soient disponibles. Le CCRIF constitue donc un moyen pour combler l’écart entre une réponse immédiate et des besoins de financement à plus long terme. \\ \\
Depuis son lancement en 2007, le CCRIF a réalisé 8 paiements totalisant près de 32 millions de dollars à 7 gouvernements. Tous les paiements ont été effectués dans les 14 jours après le déclenchement d’un événement extrême. Ces indemnités sont résumées dans le tableau ci-dessous :  \\
%\begin{figure}[htbp]
%  \centering
%    \includegraphics[scale=0.75,keepaspectratio=true]{Figures/Idemnity_CCRIF.pdf}
%    \rule{35em}{0.5pt}
%  \caption[Indemnités versées par le CCRIF depuis 2007]{Indemnités versées aux états fondateurs du CCRIF depuis 2007}
%  \label{fig:Indemnity CCRIF}
%\end{figure}
\begin{table}[htbp]
\centering
%\footnotesize
\begin{tabular}{l|L{3.3cm}|r}
\textbf{Evénement} & \textbf{Pays affecté} & \textbf{Indemnités} (US\$) \\
\hline \hline
Séisme, 29 Novembre 2007 & Dominique & 528,021 \\
\hline
Séisme, 29 Novembre 2007 & Saint Lucia & 418,976 \\
\hline
Tempête Tropicale Ike, Septembre 2008 & Îles Turques-et-Caïques & 6,303,913\\
\hline
Séisme, 11 Janvier 2010 & Haïti & 7,753,579 \\
\hline
Tempête Tropicale Earl, Août 2010 & Anguilla & 4,282,733\\
\hline
Tempête Tropicale Tomas, Octobre 2010 & Barbades & 8,560,247\\
\hline
Tempête Tropicale Tomas, Octobre 2010 & Saint Lucia & 3,241,613\\
\hline
Tempête Tropicale Tomas, Octobre 2010 & St Vincent \& les Grenades & 1,090,388\\
\hline \hline 
\multicolumn{2}{l}{\textbf{Total pour la période 2007-2011}} & \multicolumn{1}{r}{\textbf{US\$ 32,179,470} } \\
\end{tabular}
\caption[Indemnités versées par le CCRIF depuis 2007]{Indemnités versées aux états fondateurs du CCRIF depuis 2007}
\label{tab:Indemnity CCRIF}
\end{table}
\section{L’assurance paramétrique}
\subsection{Généralités}
Comme énoncé précédemment, le CCRIF est le premier fonds multi-pays a adossé un mécanisme d’assurance paramétrique. Contrairement à une assurance traditionnelle qui reverse des indemnités en fonction des dégâts réels constatés au sol, l’assurance paramétrique se base sur la mesure d’un indice spécifique pour établir le montant des indemnités. En général, la police d’assurance se déclenche lorsqu’un événement prédéfini dans le contrat survient. Cet événement concerne le plus souvent des catastrophes naturelles comme par exemple le dépassement d’un seuil de vent maximal sur une zone géographique donnée et sur une période donnée. Ce principe peut être aussi appliqué à l’assurance agricole comme par exemple le niveau de pluie en dessous d’un seuil lors d’un épisode de sécheresse \cite{report_weather}. Cela permet à des petits agriculteurs de se protéger contre les pertes engendrées par la destruction de leur récolte.\\ \\
Un des points positifs de ce type d’assurance concerne la rapidité des paiements. A titre d'exemple, le CCRIF garantit un délai maximal de 2 semaines entre la survenance d'un événement et son indémnisation. Dans le cas de l’assurance indemnitaire classique, le délai peut aller jusqu'à 2 ans avant que la totalité des dégâts ne soit évaluée. L’assurance classique est adaptée à des risques de faible intensité et/ou de faible fréquence comme l’assurance automobile, mais semble moins appropriée aux risques rares et extrêmes que constituent les ouragans ou les pluies torrentielles.\\ \\
Par rapport à une assurance classique, le principal avantage de l’assurance paramétrique repose sur l’absence d’asymétrie d’information. En effet, l’assureur et l’assuré disposent de la même information donnée par la mesure d’une variable météorologique. Dans le cas de l’assurance agricole classique, l’asymétrie d’information entraîne à la fois un phénomène d’aléa moral (les agriculteurs savent qu’ils seront indemnisés en cas de mauvaises récoltent donc prennent plus de risques) et un phénomène d’anti-sélection (les « mauvais » agriculteurs ont plus intérêt à s’assurer contre le risque de mauvaise récolte que les « bons »). L’assurance paramétrique permet alors la transparence de l’indemnisation grâce à la mesure d’un indice géré par un organisme indépendant de la compagnie d’assurance, ce qui réduit les phénomènes liés à l’asymétrie d’information. \\ \\
En revanche, il est possible que la variable mesurée ne reflète pas totalement les dégâts réels. Le risque de base est alors défini comme la différence entre le coût économique des dégâts réels au sol et l’indemnisation apportée par l’assurance paramétrique. Il est cependant à noter que la transparence pour l’investisseur, que ce soit au niveau de la réassurance ou de la titrisation, est bien meilleure pour l’assurance paramétrique que pour l’assurance classique car l’anti-sélection et l’aléa moral sont fortement réduits.

\begin{figure}[htbp]
  \centering
    \includegraphics[scale=0.75,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/Assurance_Param.pdf}
    \rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Risques de base et transparence selon le type d'investisseur]{Risques de base et Transparence selon le type d'investisseur \footnotemark}
  \label{fig:Risque Transparence}
\end{figure}
\footnotetext{Source : \href{http://antoine.leblois.free.fr/Revue_fr.pdf}{\texttt{http://antoine.leblois.free.fr/Revue\_fr.pdf}}}

\subsection{Présentation d'un produit d'assurance paramétrique : la couverture contre les ouragans}
Le CCRIF offre exclusivement trois types de produit paramétrique : 
\begin{itemize}
\item Une couverture contre les ouragans utilisant comme indice la vitesse du vent
\item Une couverture contre les tremblements de terre utilisant comme indice la magnitude sur l’échelle de Richter
\item Plus récemment, une couverture face aux pluies torrentielles ou Excess of Rainfall (XSR) dont l’indice paramétrique est construit grâce aux précipitations agrégées sur différentes zones géographiques.\\
\end{itemize}
Le produit de couverture des pluies torrentielles étant très similaire à celui des ouragans, nous nous sommes intéressés au mécanisme du dernier, celui-ci ayant fait l’objet d’un mémoire d’actuariat dans les années précédentes \cite{Marko}.\\ \\
Le CCRIF propose une couverture paramétrique face aux ouragans par le biais d’un indice lié au vent. Dans l’idéal, cet indice doit refléter les dégâts réels causés par l’événement assuré. Il est donc important d’établir au préalable la fonction de dommage qui relie les pertes économiques réelles aux indices paramétriques mesurés lors des différents événements.

\begin{figure}[htbp]
  \centering
    \includegraphics[scale=0.75,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/fonction_dom.png}
    \rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Fonction de dommage]{Fonction de dommage}
  \label{fig:Fonction de dommage}
\end{figure}

\noindent Les vitesses maximales des vents sont enregistrées sur plusieurs zones géographiques pendant l'ouragan, ce qui permet le calcul de l'indice paramétrique. L'agrégation des informations locales dans l'indice paramétrique permet de réduire le risque de base par rapport à un indice qui prendrait en compte uniquement la vitesse moyenne des vents sur le pays. L’indice paramétrique du produit contre les ouragans est donné par la formule ci-dessous :
\begin{align*}
\begin{array}{cl}
I_{\textit{événement}}=\alpha \sum_{i=1}^n w_i \times max(v_i-v_{\textit{seuil}},0)^{\beta} \\\\
\textit{où}
\hspace{0.3cm}
\left\{
\begin{array}{ll}
n &\textit{nombre de stations de mesure} \\
v_i &\textit{vitesse maximale du vent enregistrée dans la station} \\
& \textit{de référence de la zone}\\
w_i &\textit{poids de la région i }   \left(\sum_{i=1}^n w_i =1 \right)\\
\alpha \textit{ et } \beta &\textit{paramètres d’échelle}\\
\end{array}
\right.
\end{array}
\end{align*}

\noindent Les paramètres sont propres à chacun des 16 pays membres du CCRIF. Les pondérations $w_i$ sont censées refléter l’importance économique de la zone géographique concernée et traduisent leur exposition au risque d’ouragans. De plus, l’indice ne prend en compte que les vitesses supérieures à un seuil $v_{seuil}$ prédéfini dans le contrat (ex : 22.5 m/s pour la Jamaïque). Si N ouragans surviennent au cours de l’année, l’indice annuel des pertes est défini par :
\begin{align*}
I=\sum_{k=1}^N I_\textit{événement k}
\end{align*}
\noindent Une fois la fonction de dommage établie, le montant d’indemnité dû au pays est déterminé par la fonction de paiement  définie dans le contrat.  Cette fonction relie l’indice paramétrique au paiement effectué par le CCRIF au pays souscripteur. Si l’indice annuel \emph{I} est inférieur à une borne inférieure appelée \emph{Attachment Point}, le pays ne reçoit aucune indemnité. Dans le cas où l’indice est supérieur à une borne supérieure appelée \emph{Exhaustion Point}, le pays reçoit comme indemnité le montant limite de couverture appelé \emph{Coverage Limit}. L'introduction d'un paiement limite permet de caper les indices qui seraient trop extrêmes afin de pouvoir tarifier le contrat. Enfin, le montant de l’indemnisation est proportionnel à l’indice paramétrique si ce dernier se situe entre les deux bornes \emph{Attachment }et \emph{Exhaustion}. La fonction de paiement s’écrit :
\begin{equation*}
\textit{Paiement} =
\left\{
\begin{array}{ll}
0  & \textit{si } I< \textit{Attach.}\\\\
\frac{I-\textit{Attach.}}{\textit{Exhaustion}-\textit{Attach.}}          \times \textit{Coverage Limit}  & \textit{si }\textit{Attach.} <I< \textit{Exhaustion} \\ \\
\textit{Coverage Limit} & \textit{si } \textit{Exhaustion}<I
\end{array}
\right.
\end{equation*}

\noindent La représentation graphique de la fonction de paiement est donnée comme suit : 
\newpage
\begin{figure}[htbp]
  \centering
    \includegraphics[height=8cm,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/fonction_paiement.png}
  \caption[Fonction de paiement]{Fonction de paiement}
  \label{fig:Fonction de paiement}
\end{figure}

\noindent En général, les points \emph{Attachment} et \emph{Exhaustion} sont déterminés comme des quantiles bien précis de la distribution de probabilité de l’indice \emph{I}. Le montant \emph{Coverage Limit} peut être déduit grâce à la fonction de dommage, ou bien simplement être décidé par le pays souscripteur.\\ \\
La prime pure annuelle du contrat est définie comme l’espérance mathématique des paiements versés au pays :
\begin{equation*}
\textit{Prime Pure} = \mathbb{E}[Paiements]
\end{equation*} 

\noindent L’aléa repose sur l’indice paramétrique qui dépend lui-même des vitesses des vents relevées sur les régions de mesure. Pour calculer la prime du produit, il est nécessaire de connaître la distribution de probabilité du vent. La tarification se base sur la simulation de cet indice avec des techniques de type Monte-Carlo dont nous verrons l'application dans le troisième chapitre du mémoire. 
